Mathematik Aufgabe - wie lösen?

    hey, vorweg, die komplexen sowie reelen Zahlen sind für diese Aufgabe nicht definiert, sprich, sie müssen mit Tupeln aus rationalen (bzw natürlichen) Zahlen gelöst werden. Ist ne Aufgabe aussem Mathematik Studium, Vorlesung GDM1, macht man im Grundstudium, vielleicht weiß es ja einer.



    Untersuchen Sie, ob in dem Körper Q x Q (kartesisches Produkt der rationalen Zahlen) die Gleichung x² = -1 eine Lösung besitzt.


    noch einmal! Wir haben hier KEINE reelen und KEINE komplexen Zahlen zur verfügung.


    Hierbei sind Addition und Multiplikation wie folgt definiert:


    A: (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)
    M: (a,b) * (c,d) = (ac - bd, ad + bc)



    Hoffe mir kann einer (AOL?) villeicht dabei helfen. Muss sie schnellstmöglich lösen können, wäre wichtig. Ich sitz jetzt schon 6 Stunden dran, und finde nichts.


    Gruß

    Kneipiś Einwände sind berechtigt.


    Poste mal die genaue Aufgabenstellung und die dazugehörigen Definitionen aus eurem Script.






    MfG AOL

    Das denke ich mir auch schon die ganze Zeit, aber laut komplexen Zahlen wiederum ist -1 ja ein Tupel, nämlich (-1,0)


    ich editier gleich


    e:



    e2: also eigtl rall ich die komplette aufgabe nicht, wär gut wenn sie mir jemand erklären könnte, vill mit lösungen oder lösungsansätzen
    e3: also das 1. hab ich (beweis vom körper)


    e4: angeordneter körper def


    Jetzt wird mir das glaub etwas klarer.
    Ich wusste doch, dass ich die Multiplikationsabbildungsvorschrift schon irgendwo mal gesehen habe.
    (Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl)


    Wenn ich das richtig sehe, sind die Tupel quasi unterteilt in Real- und Imaginärteil.
    (Wie simulieren die komplexen Zahlen mehr oder weniger)
    Also sowas wie 2-2i wäre dann (2,-2) elem QxQ.


    Würde die Multiplikationsvorschrift nun nehmen und links zwei mal das selbe Tupel miteinander multiplizieren
    und dann solltest du vermutlich schon fast da stehen haben, ob du auf (1,0) kommen kannst.





    MfG AOL

    Ja okay, so dachte ich mir das auch schon (kenne Komplex Z. ja auch.. aber die wurden halt im neuen Kurs noch nicht definiert, folglich sollen wir sie nicht benutzen, aber vill soll es auch eine Art Hinleitung auf Basis von Selbsterkenntniss sein .. mal sehen).


    Hast du noch eine Idee zum angeordneten Körper?

    Ich vermute mal, dass die obige Gleichung eine Lösung hat. (Ohne es mir näher angesehen zu haben)


    Dann wäre es eine Idee wert mit dieser Erkenntniss das Ganze analog zum Beweis der
    'Nicht-Angeordnetheit' des Körpers der komplexen Zahlen aufzubauen.


    Wenn ich mich recht entsinne, müsste bei 'Angeordnetheit' gelten: a² + b² = (0,0) => a=b=(0,0), wobei a,b elem QxQ.
    Das Ganze sollte dann kaput gehen, wenn es ein Tupel gibt, das quadriert (-1,0) ergibt.


    Das wäre mein aller-erster Ansatz, der nebenbei durch die Aufgabenreihenfolge gestützt wird. :)





    MfG AOL

    Zum ersten Teil:


    (a,b)^2 = (aa-bb, ab+ba)


    Wenn wir nun nach einem Tupel (a,b) suchen mit (a,b)^2 = (-1,0) wird einem
    recht schnell klar, dass (0,1) gesucht ist.


    Zum zweiten Teil:


    Der Körper ist angeordnet <=> (e² + f² = (0,0) => e=f=(0,0)) wobei e,f elem QxQ.


    Nun wissen wir, dass (0,1)² = (-1,0) und suchen nun ein weiteres Tupel (c,d) mit (c,d)²=(1,0).


    Das Tupel findet sich auch wieder recht leicht: (c,d) = (1,0)


    Wenn wir nun die Additionsvorschrift aus der Aufgabenstellung ausnutzen, sehen wir, dass
    (0,1)^2 + (1,0)^2 = (0,0), wobei aber beide Tupel ungleich (0,0) sind.


    => Körper ist nicht angeordnet.




    MfG AOL

    Du musst erst mal zeigen, dass C ein Körper ist. Dazu solltest du die 4 Gesetz zu Addition und zur Multiplikation zeigen. Also Assoziativgesetz,Kommutativität, neutrales Element und inverses Element. Dann muss nur noch das gezeigt werden, dass das Distributivgesetz gilt.
    Wenn du das hast dann du dich auf x² = -1 stürtzen. Das mit den Tupeln ist zwar richtig, wird aber da man (a,b) als a + bi schreiben kann, irrelevant. Mit b = 0 hast du dann ein Element aus R. Da wie gesagt die komplexen Zahlen in Realteil und Imaginärteil aufgeteilt sind.
    Hoffe kommt noch rechtzeitig.
    Cheers!


    Edit: Zu dem Beweisen muss man eig. nicht viel sagen, vielleicht nur ein Beispiel zur Assoziviatät ein Beipiel:
    Sei K ein Körper ( K, +, * ) und a,b,c € K, dann muss ( a + b ) + c = a + ( b + c ). Jetz kannst du dir hier eine Tupel nehmen und in die Definition der Addition einsetztne und hoffen, dass auf beiden Seiten gleiche steht.


    Edit2: Fuck sehe gerade, bin ein bissl spät, dass meiste wurde schon gesagt, aber kann ja nicht schaden.